3558. Пусть E
, F
, G
, H
— середины сторон AB
, BC
, CD
, DA
выпуклого четырёхугольника ABCD
. Докажите, что S_{ABCD}\leqslant EG\cdot HF
.
Указание. Площадь четырёхугольника ABCD
вдвое больше площади четырёхугольника EGHF
(см. задачу 3019).
Решение. Пусть \alpha
— угол между EG
и HF
. Поскольку EF
— средняя линия треугольника ABC
, то S_{\triangle EBF}=\frac{1}{4}S_{\triangle ABC}
. Аналогично
S_{\triangle GDH}=\frac{1}{4}S_{\triangle ADC},~S_{\triangle FCG}=\frac{1}{4}S_{\triangle BCD},~S_{\triangle EAH}=\frac{1}{4}S_{\triangle ABD}.
Сложив почленно эти четыре равенства, получим, что
S_{\triangle EBF}+S_{\triangle GDH}+S_{\triangle FCG}+S_{\triangle EAH}=2\cdot\frac{1}{4}S_{ABCD}=\frac{1}{2}S_{ABCD}.
Поэтому
S_{ABCD}=2S_{EFGH}=2\cdot\frac{1}{2}EG\cdot HF\sin\alpha\leqslant EG\cdot HF.
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — Ч. 1. — М.: Наука, 1991. — № 9.31, с. 230
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 9.33, с. 224