3560. Точки
M
и
N
лежат на сторонах соответственно
AB
и
AC
треугольника
ABC
, причём
AM=CN
и
AN=BM
. Докажите, что площадь четырёхугольника
BMNC
по крайней мере в три раза больше площади треугольника
AMN
.
Указание.
S_{\triangle AMN}=\frac{AM}{AB}\cdot\frac{AN}{AC}S_{\triangle ABC}
.
Решение. Обозначим
AM=NC=x
,
AN=BM=y
. Тогда (см. задачу 3007)
S_{\triangle AMN}=\frac{AM}{AB}\cdot\frac{AN}{AC}S_{\triangle ABC}=\frac{xy}{(x+y)^{2}}\cdot S_{\triangle ABC},

S_{BMNC}=S_{\triangle ABC}-S_{\triangle AMN}=\left(1-\frac{xy}{(x+y)^{2}}\right)S_{\triangle ABC}.

Осталось доказать, что
1-\frac{xy}{(x+y)^{2}}\geqslant\frac{3xy}{(x+y)^{2}},~\mbox{или}~\frac{4xy}{(x+y)^{2}}\leqslant1.

Последнее неравенство следует из известного неравенства
\sqrt{xy}\leqslant\frac{x+y}{2}.

Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — Ч. 1. — М.: Наука, 1991. — № 9.36, с. 230
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 9.38, с. 224