3560. Точки M
и N
лежат на сторонах соответственно AB
и AC
треугольника ABC
, причём AM=CN
и AN=BM
. Докажите, что площадь четырёхугольника BMNC
по крайней мере в три раза больше площади треугольника AMN
.
Указание. S_{\triangle AMN}=\frac{AM}{AB}\cdot\frac{AN}{AC}S_{\triangle ABC}
.
Решение. Обозначим AM=NC=x
, AN=BM=y
. Тогда (см. задачу 3007)
S_{\triangle AMN}=\frac{AM}{AB}\cdot\frac{AN}{AC}S_{\triangle ABC}=\frac{xy}{(x+y)^{2}}\cdot S_{\triangle ABC},
S_{BMNC}=S_{\triangle ABC}-S_{\triangle AMN}=\left(1-\frac{xy}{(x+y)^{2}}\right)S_{\triangle ABC}.
Осталось доказать, что
1-\frac{xy}{(x+y)^{2}}\geqslant\frac{3xy}{(x+y)^{2}},~\mbox{или}~\frac{4xy}{(x+y)^{2}}\leqslant1.
Последнее неравенство следует из известного неравенства
\sqrt{xy}\leqslant\frac{x+y}{2}.