3562. Докажите, что если a
, b
, c
— стороны произвольного треугольника, то a^{2}+b^{2}\gt\frac{c^{2}}{2}
.
Указание. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его четырёх сторон.
Решение. Первый способ. Удвоив медиану m
, проведённую к стороне c
, достроим данный треугольник до параллелограмма. Тогда (см. задачу 4011)
2a^{2}+2b^{2}=c^{2}+4m^{2}\gt c^{2}
(см. задачу 4011). Отсюда следует, что a^{2}+b^{2}\gt\frac{c^{2}}{2}
.
Второй способ. Поскольку c\lt a+b
, то
c^{2}\lt(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\leqslant2a^{2}+2b^{2}
(так как a^{2}+b^{2}\geqslant2ab
).
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — Ч. 1. — М.: Наука, 1991. — № 10.4(a), с. 261
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 10.4(а), с. 253
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 1: Планиметрия, преобразования плоскости. — М.: МЦНМО, 2004. — № 13.17, с. 106