3569. Пусть ABCD
и A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
— два выпуклых четырёхугольника с соответственно равными сторонами. Докажите, что если \angle A\gt\angle A_{1}
, то \angle B\lt\angle B_{1}
, \angle C\gt\angle C_{1}
, \angle D\lt\angle D_{1}
.
Указание. Поскольку AB=A_{1}B_{1}
, AD=A_{1}D_{1}
, а \angle A\gt\angle A_{1}
, то BD\gt B_{1}D_{1}
(см. задачу 3606).
Решение. Рассмотрим треугольники ABD
и A_{1}B_{1}D_{1}
. Поскольку AB=A_{1}B_{1}
, AD=A_{1}D_{1}
, а \angle A\gt\angle A_{1}
, то BD\gt B_{1}D_{1}
(см. задачу 3606). Рассматривая аналогично треугольники BCD
и B_{1}C_{1}D_{1}
, получим, что \angle C\gt\angle C_{1}
.
Предположим теперь, что \angle B\geqslant\angle B_{1}
. Тогда AC\geqslant A_{1}C_{1}
. Поэтому \angle D\geqslant\angle D_{1}
. Поскольку сумма углов выпуклого четырёхугольника равна 360^{\circ}
, то
360^{\circ}=\angle A+\angle B+\angle C+\angle D\gt\angle A_{1}+\angle B_{1}+\angle C_{1}+\angle D_{1}=360^{\circ},
что невозможно. Следовательно, \angle B\lt\angle B_{1}
, а \angle D\lt\angle D_{1}
.
Источник: Московская математическая олимпиада. — 1951, XIV, 1-й тур, 7-8 классы
Источник: Гальперин Г. А., Толпыго А. К. Московские математические олимпиады. — М.: Просвещение, 1988. — № 2, с. 38
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 10.64, с. 257