3610. Точка I
— центр окружности, вписанной в треугольник ABC
, N
— точка касания вневписанной окружности со стороной BC
. Докажите, что прямая NI
делит пополам высоту треугольника ABC
, проведённую из вершины A
.
Решение. Пусть P
— точка касания вписанной окружности треугольника ABC
со стороной AB
, PE
— диаметр этой окружности. Тогда касательная в точке E
к вписанной окружности параллельна стороне BC
. При гомотетии с центром A
, переводящей вписанную окружность во вневписанную, эта касательная переходит в параллельную ей касательную BC
к вневписанной окружности треугольника ABC
, точка касания E
— в точку касания N
вневписанной окружности со стороной BC
. Следовательно, точки A
, E
и N
лежат на одной прямой.
Поскольку NI
— медиана треугольника INP
, а высота AH
параллельна EP
, то прямая NI
делит отрезок AH
пополам (см. задачу 2607).
Примечание. См. статью А.Карлюченко и Г.Филипповского «Об одной замечательной прямой в треугольнике», Квант, 2007, N4, с.31, 34-35.