3621. Через вершины A
, B
и C
параллелограмма ABCD
со сторонами AB=3
и BC=5
проведена окружность, пересекающая прямую BD
в точке E
, причём BE=9
. Найдите диагональ BD
.
Ответ. \frac{34}{9}
.
Указание. Используя теорему о сумме квадратов диагоналей параллелограмма и теорему о произведении отрезков пересекающихся хорд, составьте систему уравнений относительно диагоналей параллелограмма.
Решение. Пусть диагонали параллелограмма пересекаются в точке O
. Обозначим OB=OD=x
, AO=OC=y
. По теореме о сумме квадратов диагоналей параллелограмма (см. задачу 4011)
AC^{2}+BD^{2}=2AB^{2}+2BC^{2}.
По теореме о произведении отрезков пересекающихся хорд
BO\cdot OE=AO\cdot OC.
Таким образом, получим систему
\syst{4x^{2}+4y^{2}=2\cdot34\\x(9-x)=y^{2},\\}
или
\syst{x^{2}+y^{2}=17\\9x=x^{2}+y^{2}.\\}
Отсюда находим, что BD=2x=\frac{34}{9}
.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет МГУ. — 2001 (июль), вариант 1, № 3
Источник: Вступительные экзамены и олимпиады по математике 2000—2002 гг. / Под общ. ред. И. Н. Сергеева. — М.: Изд-во ЦПИ при мехмате МГУ, 2003. — с. 59