3644. Дан треугольник ABC
со сторонами AB=6
, AC=4
, BC=8
. Точка D
лежит на стороне AB
, а точка E
— на стороне AC
, причём AD=2
, AE=3
. Найдите площадь треугольника ADE
.
Ответ. \frac{3\sqrt{15}}{4}
.
Указание. S_{\triangle ADE}=\frac{AD}{AB}\cdot\frac{AE}{AC}\cdot S_{\triangle ABC}
.
Решение. Пусть p
— полупериметр треугольника ABC
. Из условия задачи следует, что
p=\frac{1}{2}(AB+AC+BC)=\frac{1}{2}(6+4+8)=9.
По формуле Герона
S_{\triangle ABC}=\sqrt{p(p-AB)(p-AC)(p-BC)}=\sqrt{9\cdot3\cdot5\cdot1}=3\sqrt{15}.
Следовательно (см. задачу 3007),
S_{\triangle ADE}=\frac{AD}{AB}\cdot\frac{AE}{AC}\cdot S_{\triangle ABC}=\frac{2}{6}\cdot\frac{3}{4}\cdot3\sqrt{15}=\frac{3\sqrt{15}}{4}.
Источник: Вступительный экзамен на биологический факультет МГУ. — 2000, вариант 1, № 3
Источник: Вступительные экзамены и олимпиады по математике 2000—2002 гг. / Под общ. ред. И. Н. Сергеева. — М.: Изд-во ЦПИ при мехмате МГУ, 2003. — с. 151