3652. Длины сторон треугольника ABC
равны 4, 6 и 8. Вписанная в этот треугольник окружность касается его сторон в точках D
, E
и F
. Найдите площадь треугольника DEF
.
Ответ. \frac{15\sqrt{15}}{32}
.
Указание. Решив систему уравнений, найдите отрезки, на которые точки касания вписанной окружности делят стороны треугольника. Затем, найдя площадь исходного треугольника по формуле Герона, воспользуйтесь формулой: S_{\triangle DAF}=\frac{AD}{AB}\cdot\frac{AF}{AC}\cdot S_{\triangle ABC}
(если точка D
лежит на стороне AB
, а точка F
— на стороне AC
).
Решение. По формуле Герона находим, что S_{\triangle ABC}=\sqrt{9\cdot5\cdot3\cdot1}=3\sqrt{15}
.
Пусть точки D
, E
и F
лежат соответственно на сторонах AB=4
, BC=6
и AC=8
. Обозначим AD=AF=x
, BD=BE=y
, CE=CF=z
. Тогда
\syst{x+y=4\\y+z=6\\x+z=8,\\}
откуда находим, что x=3
, y=1
, z=5
. Тогда (см. задачу 3007)
S_{\triangle DAF}=\frac{AD}{AB}\cdot\frac{AF}{AC}\cdot S_{\triangle ABC}=\frac{3}{4}\cdot\frac{3}{8}\cdot3\sqrt{15}=\frac{27\sqrt{15}}{32},
S_{\triangle DBE}=\frac{BD}{BA}\cdot\frac{BE}{BC}\cdot S_{\triangle ABC}=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{6}\cdot3\sqrt{15}=\frac{\sqrt{15}}{8},
S_{\triangle ECF}=\frac{CE}{CB}\cdot\frac{CF}{CA}\cdot S_{\triangle ABC}=\frac{5}{6}\cdot\frac{5}{8}\cdot3\sqrt{15}=\frac{25\sqrt{15}}{16}.
Следовательно,
S_{\triangle DEF}=S_{\triangle ABC}-\left(S_{\triangle DAF}+S_{\triangle DBE}+S_{\triangle ECF}\right)=
=3\sqrt{15}-\left(\frac{27\sqrt{15}}{32}+\frac{\sqrt{15}}{8}+\frac{25\sqrt{15}}{16}\right)=\frac{15\sqrt{15}}{32}.
Источник: Вступительный экзамен на биологический факультет МГУ. — 2002 (июль), вариант 1, № 3
Источник: Вступительные экзамены и олимпиады по математике 2000—2002 гг. / Под общ. ред. И. Н. Сергеева. — М.: Изд-во ЦПИ при мехмате МГУ, 2003. — с. 167