3674. В треугольнике PQR
точка T
лежит на стороне PR
, \angle QTR=\angle PQR
, PT=8
, TR=1
. Найдите
1) сторону QR
;
2) \angle QRP
, если радиус описанной около треугольника PQT
окружности равен 3\sqrt{3}
.
Ответ. а) 3; б) \frac{\pi}{3}\pm\arccos\frac{5}{6}
.
Указание. Докажите, что треугольники QTR
и PQR
подобны, а прямая RQ
— касательная к описанной окружности треугольника PQT
. Затем из прямоугольного треугольника OQR
(O
— центр окружности) найдите угол \angle ORS
.
Решение. Треугольники QTR
и PQR
подобны по двум углам, поэтому \frac{QR}{PR}=\frac{TR}{QR}
, откуда находим, что QR=\sqrt{PR\cdot TR}=\sqrt{9\cdot1}=3
.
Поскольку \angle TQR=\angle QPR
, то по теореме, обратной теореме об угле между касательной и хордой (см. задачу 144), прямая RQ
— касательная к окружности, описанной около треугольника PQT
. Поэтому OQ\perp RQ
(O
— центр окружности).
Из прямоугольного треугольника OQR
находим, что
\tg\angle ORQ=\frac{OQ}{QR}=\frac{3\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3},
поэтому \angle ORQ=\frac{\pi}{3}
и OR=2QR=6
.
Пусть S
— основание перпендикуляра, опущенного из центра окружности на хорду PT
. Тогда S
— середина PT
. Из прямоугольного треугольника OSR
находим, что \cos\angle ORS=\frac{RS}{OR}=\frac{1+4}{6}=\frac{5}{6}
.
Следовательно, \angle QRP=\frac{\pi}{3}\pm\arccos\frac{5}{6}
(точки P
и Q
могут лежать как по одну сторону от прямой OR
, так и по разные).
Источник: Вступительный экзамен на географический факультет МГУ. — 2002 (июль), вариант 1, № 5
Источник: Вступительные экзамены и олимпиады по математике 2000—2002 гг. / Под общ. ред. И. Н. Сергеева. — М.: Изд-во ЦПИ при мехмате МГУ, 2003. — с. 234