3688. В трапеции ABCD
стороны AB
и CD
параллельны и CD=2AB
. На сторонах AD
и BC
выбраны точки P
и Q
соответственно так, что DP:PA=2
, BQ:QC=3:4
. Найдите отношение площадей четырёхугольников ABQP
и CDPQ
.
Ответ. \frac{19}{44}
.
Указание. Продолжите до пересечения боковые стороны трапеции.
Решение. Пусть продолжения боковых сторон AD
и BC
трапеции пересекаются в точке K
. Из условия задачи следует, что AB
— средняя линия треугольника KDC
. Обозначим AB=z
, BQ=3t
, S_{\triangle AKB}=s
. Тогда
DP=2z,~AK=AD=3z,~CQ=4t,~BK=BC=7z,
S_{\triangle KDC}=4s,~S_{\triangle KPQ}=\frac{KP}{KD}\cdot\frac{KQ}{KC}\cdot S_{\triangle KDC}=\frac{4}{6}\cdot\frac{10}{14}\cdot4s=\frac{40}{21}s
(см. задачу 3007),
S_{ABQP}=S_{\triangle KPQ}-S_{\triangle AKB}=\frac{40}{21}s-s=\frac{19}{21}s,
S_{CDPQ}=S_{ABCD}-S_{ABQP}=3s-\frac{19}{21}=\frac{44}{21}s.
Следовательно,
\frac{S_{ABQP}}{S_{CDPQ}}=\frac{19}{44}.
Источник: Вступительный экзамен на филологический факультет МГУ. — 2001, вариант 1, № 3
Источник: Вступительные экзамены и олимпиады по математике 2000—2002 гг. / Под общ. ред. И. Н. Сергеева. — М.: Изд-во ЦПИ при мехмате МГУ, 2003. — с. 278