3715. Медиана AM
треугольника ABC
равна половине стороны BC
. Угол между AM
и высотой AH
равен 40^{\circ}
. Найдите углы треугольника ABC
.
Ответ. 90^{\circ}
, 25^{\circ}
, 65^{\circ}
.
Указание. Поскольку медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник — прямоугольный.
Решение. Поскольку медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник прямоугольный (см. задачу 1188). В нашем случае \angle A=90^{\circ}
.
Пусть точка H
лежит на отрезке BM
. Тогда \angle AMB=90^{\circ}-40^{\circ}=50^{\circ}
— внешний угол равнобедренного треугольника AMC
, поэтому
\angle ACB=\frac{1}{2}\angle AMB=\frac{1}{2}\cdot50^{\circ}=25^{\circ}.
Следовательно, \angle ABC=90^{\circ}-25^{\circ}=65^{\circ}
.
Источник: Вступительный экзамен на геологический факультет МГУ. — 1999 (июль), вариант 1, № 8
Источник: Математика. Задачи вступительных экзаменов с ответами и решениями / Сост. Е. А. Григорьев. — М.: УНЦ ДО, 2004. — с. 34