3725. В треугольнике ABC
угол C
— прямой, отношение медианы CM
к биссектрисе CN
равно \sqrt{6}:1
, высота CK=2
. Найдите площади треугольников CNK
и ABC
.
Ответ. S_{\triangle CNK}=\sqrt{2}
, S_{\triangle ABC}=12
.
Указание. Медиана прямоугольного треугольника, проведённая из вершины угла, равна половине гипотенузы (см. задачу 1109), поэтому треугольники BMC
и AMC
равнобедренные. Отсюда следует, что CN
— биссектриса угла KCM
.
Решение. Медиана прямоугольного треугольника, проведённая из вершины угла, равна половине гипотенузы (см. задачу 1109), поэтому треугольники BMC
и AMC
равнобедренные. Тогда
\angle BCM=\angle CBM=\angle ACK,
\angle KCN=\angle ACN-\angle ACK=\angle BCN-\angle BCM=\angle MCN,
т. е. CN
— биссектриса угла KCM
.
Обозначим \angle KCN=\angle MCN=\alpha
, CN=x
, CM=x\sqrt{6}
. Из прямоугольных треугольников KCM
и KCN
находим, что
CK=CM\cdot\cos\angle KCM=x\sqrt{6}\cos2\alpha,~CK=CN\cdot\cos\angle KCN=x\cos\alpha.
Из уравнения x\sqrt{6}\cos2\alpha=x\cos\alpha
, находим, что \cos\alpha=\sqrt{\frac{2}{3}}
.
Тогда
x=CN=\frac{CK}{\cos\alpha}=2\cdot\sqrt{\frac{3}{2}}=\sqrt{6},~AB=2AM=2x\sqrt{6}=12,
~KN=CN\cdot\sin\angle KCN=\sqrt{6}\cdot\sin\alpha=\sqrt{6}\cdot\sqrt{\frac{1}{3}}=\sqrt{2}.
Следовательно,
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot CK=\frac{1}{2}\cdot12\cdot2=12,
S_{\triangle CNK}=\frac{1}{2}\cdot KN\cdot CK=\frac{1}{2}\cdot\sqrt{2}\cdot2=\sqrt{2}.