3727. В равнобедренном треугольнике ABC
с основанием AC
проведены биссектриса CD
и прямая DE
, перпендикулярная CD
(точка E
лежит на прямой AC
). Найдите площадь треугольника ABC
, если CE=4
, CA=3
.
Ответ. \frac{9}{4}\sqrt{15}
.
Указание. Проведите медиану DM
прямоугольного треугольника CDE
.
Решение. Из условия задачи следует, что точка E
лежит на продолжении основания AC
за точку A
.
Пусть M
— середина отрезка CE
. Тогда DM
— медиана прямоугольного треугольника CDE
, проведённая из вершины прямого угла, поэтому (см. задачу 1109)
DM=ME=MC=2,~AM=ME-AE=2-1=1,
\angle CDM=\angle MCD=\angle BCD,
значит, DM\parallel BC
. Тогда
\angle DMA=\angle BCE=\angle DAM,
поэтому треугольник ADM
— равнобедренный. Его высота DK
является медианой, поэтому
DK=\sqrt{DM^{2}-MK^{2}}=\sqrt{4-\left(\frac{1}{2}\right)^{2}}=\frac{\sqrt{15}}{2}.
Треугольник ABC
подобен треугольнику ADM
с коэффициентом \frac{AC}{AM}=3
, поэтому его высота BH
в три раза больше высоты DK
треугольника ADM
, т. е. BH=\frac{3}{2}\sqrt{15}
. Следовательно,
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BH=\frac{1}{2}\cdot3\cdot\frac{3}{2}\sqrt{15}=\frac{9}{4}\sqrt{15}.
Источник: Вступительный экзамен на геологический факультет МГУ. — 2002 (июль), вариант 1, № 6
Источник: Математика. Задачи вступительных экзаменов с ответами и решениями / Сост. Е. А. Григорьев. — М.: УНЦ ДО, 2004. — с. 47