3746. Докажите или опровергните следующее утверждение: круг площадью \frac{25}{8}
можно поместить внутрь треугольника со сторонами 3, 4 и 5.
Ответ. Утверждение верно.
Указание. Если r
— радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник с катетами a
и b
и гипотенузой c
, то r=\frac{a+b-c}{2}
. Воспользуйтесь также неравенством \pi\lt3{,}15
Решение. Поскольку 3^{2}+4^{2}=9+16=25=5^{2}
, то треугольник — прямоугольный. Пусть r
— радиус окружности, вписанной в данный треугольник, R
— радиус данного круга, S
— его площадь. Тогда r=\frac{3+4-5}{2}=1
(см. задачу 217), а т.к S=\pi R^{2}
, то R=\sqrt{\frac{S}{\pi}}=\frac{5}{2\pi\sqrt{2}}
. Поскольку \pi\gt3{,}14
и \sqrt{2}\gt1{,}4
, то
2\pi\sqrt{2}\gt2\cdot3{,}14\cdot1{,}4=6{,}392\gt5,
поэтому
R=\frac{5}{2\pi\sqrt{2}}\lt1=r
Следовательно, данный круг можно поместить в треугольник со сторонами 3, 4 и 5.