3843. Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD
пересекаются в точке E
, AB=AD
, CA
— биссектриса угла C
, \angle BAD=140^{\circ}
, \angle BEA=110^{\circ}
. Найдите угол CDB
.
Ответ. 50^{\circ}
.
Указание. Продолжите стороны BC
и AD
до пересечения в точке F
и докажите, что треугольник CDF
— равнобедренный.
Решение. Углы при основании BD
равнобедренного треугольника BAD
равны по 20^{\circ}
. Значит, по теореме о внешнем угле треугольника \angle CAD=\angle AEB-\angle ADE=110^{\circ}-20^{\circ}=90^{\circ}
.
Продолжим стороны BC
и AD
до пересечения в точке F
. Поскольку биссектриса CA
треугольника CDF
является его высотой, то треугольник CDF
— равнобедренный. Поэтому FA=AD=AB
.
Поскольку медиана AB
треугольника BFD
равна половине стороны DF
, то треугольник BFD
прямоугольный (см. задачу 1188), \angle DBF=90^{\circ}
. Поэтому
\angle CDF=\angle BFD=90^{\circ}-\angle BDF=90^{\circ}-20^{\circ}=70^{\circ}.
Следовательно,
\angle CDB=\angle CDF-\angle BDA=70^{\circ}-20^{\circ}=50^{\circ}.