3853. Квадрат и треугольник равных площадей вписаны в некоторый полукруг, причём одна из сторон треугольника совпадает с диаметром полукруга. Докажите, что центр окружности, вписанной в данный треугольник, лежит на одной из сторон квадрата.
Решение. Пусть сторона CD
квадрата ABCD
лежат на диаметре KM
полукруга радиуса R
с центром O
, вершины A
и B
— на дуге полукруга, а вершина L
треугольника KLM
— на дуге AK
; I
— центр вписанной окружности треугольника KLM
, r
— её радиус. Обозначим CD=AB=x
.
По теореме Пифагора OC^{2}+BC^{2}=OB^{2}
, или \frac{x^{2}}{4}+x^{2}=R^{2}
. Отсюда находим, что
S_{\triangle KLM}=S_{ABCD}=x^{2}=\frac{4}{5}R^{2},~OD^{2}=\left(\frac{1}{2}CD\right)^{2}=\frac{1}{4}x^{2}=\frac{1}{5}R^{2}.
Точка L
лежит на окружности с диаметром KM
, значит, треугольник KLM
прямоугольный. Пусть его вписанная окружность касается гипотенузы KM
в точке P
, а катетов KL
и ML
— в точках E
и F
соответственно. Докажем, что OP=OD
. Отсюда будет следовать, что точка I
лежит на стороне AD
квадрата ABCD
.
Четырёхугольник IELF
— квадрат со стороной r
, поэтому
\frac{4}{5}R^{2}=S_{\triangle KLM}=S_{IELF}+S_{IPKE}+S_{IPMF}=
=S_{IELF}+2S_{\triangle IPK}+2S_{\triangle IPM}=S_{IELF}+2S_{\triangle KIM}=r^{2}+2Rr.
Обозначим OP=t
. Тогда
KE=KP=OK-OP=R-t,~MF=MP=OM+OP=R+t,
KL=KE+LE=R-t+r,~ML=MF+LF=R+t+r.
По теореме Пифагора KL^{2}+ML^{2}=KM^{2}
, или
(R+r-t)^{2}+(R+r+t)^{2}=4R^{2},
откуда находим, что t^{2}=R^{2}-2Rr-r^{2}
. Следовательно,
OP^{2}=t^{2}=R^{2}-2Rr-r^{2}=R^{2}-(2Rr+r^{2})=R^{2}-\frac{4}{5}R^{2}=\frac{1}{5}R^{2}=OD^{2}.
Поэтому OD=OP
. Что и требовалось доказать.
Если точка L
лежит на дуге AM
, то аналогично точка I
лежит на стороне BC
квадрата ABCD
.
Примечание. Для нахождения отрезка OP
можно воспользоваться формулой Эйлера: расстояние OI
между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника равно \sqrt{R^{2}-2Rr}
(см. задачу 126). Тогда по теореме Пифагора
OP^{2}=OI^{2}+IP^{2}=(R^{2}-2Rr)-r^{2}=R^{2}-(r^{2}+2Rr)=R^{2}-\frac{4}{5}R^{2}=\frac{1}{5}R^{2}.