3862. В четырёхугольнике ABCD
диагонали AC
и BD
пересекаются в точке K
. Точки L
и M
являются соответственно серединами сторон BC
и AD
. Отрезок LM
содержит точку K
. Четырёхугольник ABCD
таков, что в него можно вписать окружность. Найдите радиус этой окружности, если AB=3
, AC=\sqrt{13}
и LK:KM=1:3
.
Ответ. \frac{3}{2}
.
Указание. Докажите, что AD\parallel BC
. Обозначьте BC=x
, выразите через x
стороны трапеции ABCD
и с помощью теоремы косинусов составьте уравнение относительно x
.
Решение. Докажем, что BC\parallel AD
. Предположим, что это не так, и через точку B
проведём прямую, параллельную AD
(рис. 1). Пусть эта прямая пересекается с прямой AC
в точке P
. Известно, что точка пересечения диагоналей и середины оснований любой трапеции лежат на одной прямой (см. задачу 1513). Поэтому прямая MK
пересекает отрезок BP
в его середине L_{1}
. Тогда отрезок LL_{1}
— средняя линия треугольника CBP
. Значит, LL_{1}\parallel AC
и LM\parallel AC
, а по условию LM
и AC
пересекаются в точке K
. Противоречие получено. Таким образом, четырёхугольник ABCD
— трапеция с основаниями BC
и AD
.
Из подобия треугольников BLK
и DMK
(рис. 2) следует, что BL:DM=KL:KM=1:3
, а так как точки L
и M
— середины оснований BC
и AD
, то BC:AD=1:3
.
Обозначим BC=x
. Тогда AD=3x
. Поскольку в четырёхугольник ABCD
можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны, т. е. BC+AD=AB+CD
. Поэтому CD=BC+AD-AB=x+3x-3=4x-3
.
Через вершину C
проведём прямую, параллельную стороне AB
. Пусть эта прямая пересекает основание AD
в точке Q
. Из теоремы косинусов для треугольников ADC
и QDC
следует, что
\cos\angle ADC=\frac{DA^{2}+DC^{2}-AC^{2}}{2\cdot DA\cdot DC}=\frac{9x^{2}+(4x-3)^{2}-13}{2\cdot3x(4x-3)},~\mbox{и}
~\cos\angle ADC=\frac{DQ^{2}+DC^{2}-QC^{2}}{2\cdot DQ\cdot DC}=\frac{4x^{2}+(4x-3)^{2}-9}{2\cdot2x(4x-3)}.
Из уравнения
\frac{9x^{2}+(4x-3)^{2}-13}{2\cdot3x(4x-3)}=\frac{4x^{2}+(4x-3)^{2}-9}{2\cdot2x(4x-3)}
находим, что x=2
или x=\frac{2}{5}
, но при x=\frac{2}{5}
получим, что 4x-3\lt0
. Таким образом, BC=x=2
, QD=2x=4
, CD=4x-3=5
.
Поскольку QC^{2}+QD^{2}=9+16=25=DC^{2}
, то треугольник CQD
— прямоугольный, значит, CQ=3
— высота трапеции. Следовательно, радиус вписанной в трапецию окружности равен \frac{3}{2}
.
