3862. В четырёхугольнике
ABCD
диагонали
AC
и
BD
пересекаются в точке
K
. Точки
L
и
M
являются соответственно серединами сторон
BC
и
AD
. Отрезок
LM
содержит точку
K
. Четырёхугольник
ABCD
таков, что в него можно вписать окружность. Найдите радиус этой окружности, если
AB=3
,
AC=\sqrt{13}
и
LK:KM=1:3
.
Ответ.
\frac{3}{2}
.
Указание. Докажите, что
AD\parallel BC
. Обозначьте
BC=x
, выразите через
x
стороны трапеции
ABCD
и с помощью теоремы косинусов составьте уравнение относительно
x
.
Решение. Докажем, что
BC\parallel AD
. Предположим, что это не так, и через точку
B
проведём прямую, параллельную
AD
(рис. 1). Пусть эта прямая пересекается с прямой
AC
в точке
P
. Известно, что точка пересечения диагоналей и середины оснований любой трапеции лежат на одной прямой (см. задачу 1513). Поэтому прямая
MK
пересекает отрезок
BP
в его середине
L_{1}
. Тогда отрезок
LL_{1}
— средняя линия треугольника
CBP
. Значит,
LL_{1}\parallel AC
и
LM\parallel AC
, а по условию
LM
и
AC
пересекаются в точке
K
. Противоречие получено. Таким образом, четырёхугольник
ABCD
— трапеция с основаниями
BC
и
AD
.
Из подобия треугольников
BLK
и
DMK
(рис. 2) следует, что
BL:DM=KL:KM=1:3
, а так как точки
L
и
M
— середины оснований
BC
и
AD
, то
BC:AD=1:3
.
Обозначим
BC=x
. Тогда
AD=3x
. Поскольку в четырёхугольник
ABCD
можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны, т. е.
BC+AD=AB+CD
. Поэтому
CD=BC+AD-AB=x+3x-3=4x-3
.
Через вершину
C
проведём прямую, параллельную стороне
AB
. Пусть эта прямая пересекает основание
AD
в точке
Q
. Из теоремы косинусов для треугольников
ADC
и
QDC
следует, что
\cos\angle ADC=\frac{DA^{2}+DC^{2}-AC^{2}}{2\cdot DA\cdot DC}=\frac{9x^{2}+(4x-3)^{2}-13}{2\cdot3x(4x-3)}~\mbox{и}

\cos\angle ADC=\frac{DQ^{2}+DC^{2}-QC^{2}}{2\cdot DQ\cdot DC}=\frac{4x^{2}+(4x-3)^{2}-9}{2\cdot2x(4x-3)}.

Из уравнения
\frac{9x^{2}+(4x-3)^{2}-13}{2\cdot3x(4x-3)}=\frac{4x^{2}+(4x-3)^{2}-9}{2\cdot2x(4x-3)}

находим, что
x=2
или
x=\frac{2}{5}
, но при
x=\frac{2}{5}
получим, что
4x-3\lt0
. Таким образом,
BC=x=2
,
QD=2x=4
,
CD=4x-3=5
.
Поскольку
QC^{2}+QD^{2}=9+16=25=DC^{2}
, то треугольник
CQD
— прямоугольный, значит,
CQ=3
— высота трапеции. Следовательно, радиус вписанной в трапецию окружности равен
\frac{3}{2}
.


Источник: Вступительный экзамен на географический факультет МГУ. — 1999 (июль), вариант 1, № 5
Источник: Диагностические и тренировочные задачи ЕГЭ. — 2015