3873. Площадь треугольника равна 6\sqrt{6}
, периметр его равен 18, расстояние от центра вписанной окружности до одной из вершин равно \frac{2\sqrt{42}}{3}
. Найдите наименьшую сторону треугольника.
Ответ. 5.
Указание. Если вписанная окружность касается стороны AC
треугольника ABC
в точке M
, а p
— полупериметр треугольника, то AM=p-BC
(см. задачу 219). Воспользуйтесь этим равенством, а затем примените теорему косинусов.
Решение. Пусть O
— центр окружности, вписанной в данный треугольник ABC
, r
— её радиус, S=6\sqrt{6}
— площадь, 2p=18
— периметр, M
— точка касания со стороной AC
.
Поскольку S=p\cdot r
, то
r=\frac{S}{p}=\frac{12\sqrt{6}}{9}=\frac{2\sqrt{6}}{3}.
Из прямоугольного треугольника AOM
находим, что
AM=\sqrt{AO^{2}-OM^{2}}=\sqrt{\left(\frac{2\sqrt{42}}{3}\right)^{2}-\left(\frac{2\sqrt{6}}{3}\right)^{2}}=\frac{2}{3}\cdot\sqrt{42-6}=4.
Из равенства AM=p-BC
(см. задачу 219) находим, что BC=9-4=5
. Обозначим CM=x
. Из равенства CM=p-AB
находим, что AB=p-CM=9-x
.
По формуле Герона
S=\sqrt{p(p-BC)(p-AC)(p-AB)},~\mbox{или}~6\sqrt{6}=\sqrt{9\cdot4\cdot(5-x)\cdot x}.
Из этого уравнения находим, что x=2
или x=3
. В первом случае AB=7
, AC=6
. Во втором — AB=6
, AC=7
. Следовательно, в каждом из этих случаев сторона BC=5
— наименьшая.
Источник: Вступительный экзамен на физический факультет МГУ. — 2003 (март), вариант 1, № 6