3879. Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон выпуклого четырёхугольника ABCD
, перпендикулярны, AC=4
, \angle CAB+\angle DBA=75^{\circ}
. Найдите площадь четырёхугольника ABCD
и сравните её с числом 2\sqrt{15}
.
Ответ. 2\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)\lt2\sqrt{15}
.
Указание. Четырёхугольник с вершинами в серединах сторон четырёхугольника ABCD
— ромб (см. задачу 1204).
Решение. Пусть K
, L
, M
и N
середины сторон соответственно AB
, BC
, CD
и AD
данного четырёхугольника. Поскольку KN
— средняя линия треугольника ABD
, то KN\parallel BD
и KN=\frac{1}{2}BD
. Аналогично LM\parallel BD
и LM=\frac{1}{2}BD
. Следовательно, четырёхугольник KLMN
— параллелограмм, а так как его диагонали KM
и LN
перпендикулярны, то это — ромб. Диагонали четырёхугольника ABCD
вдвое больше сторон ромба, значит, BD=AC=4
. Острый угол между диагоналями равен 75^{\circ}
(по теореме о внешнем угле треугольника). Следовательно,
S_{ABCD}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BD\cdot\sin75^{\circ}=\frac{1}{2}\cdot4\cdot4\cdot\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}=2\sqrt{2}(\sqrt{3}+1).
2\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)\lt2\sqrt{15}\Leftarrow(\sqrt{6}+\sqrt{2})^{2}\lt(\sqrt{15})^{2}\Leftarrow
8+4\sqrt{3}\lt15\Leftarrow4\sqrt{3}\lt7\Leftarrow48\lt49.