3902. Среди треугольников KLM
, у которых радиус описанной окружности равен 10, сторона KL
равна 16, высота MH
равна \frac{39}{10}
, найдите угол KML
того треугольника, медиана MN
которого наименьшая.
Ответ. \angle KML=\arccos\left(-\frac{3}{5}\right)=\pi-\arcsin\frac{4}{5}
.
Указание. Пусть MK=a
, ML=b
, KL=c
, MN=m
, \angle KML=\alpha
. Тогда
m^{2}=\frac{1}{4}(2a^{2}+2b^{2}-c^{2}).
Найдите \sin\alpha
, рассмотрите случаи тупого и острого угла KML
и с помощью теоремы косинусов выразите a^{2}+b^{2}
через известные величины.
Решение. Обозначим MK=a
, ML=b
, KL=c
, MN=m
, \angle KML=\alpha
.
Если R=10
— радиус окружности, описанной около треугольника KLM
, то
\sin\alpha=\sin\angle KML=\frac{KL}{2R}=\frac{16}{20}=\frac{4}{5}.
Записав двумя способами площадь треугольника KLM
, получим уравнение
\frac{1}{2}ab\sin\alpha=\frac{1}{2}KL\cdot MH,~\mbox{или}~ab\cdot\frac{4}{5}=16\cdot\frac{39}{10},
откуда находим, что ab=78
.
По теореме косинусов
a^{2}+b^{2}-2ab\cos\alpha=256.
Поэтому
a^{2}+b^{2}=256+2ab\cos\alpha=256+2\cdot78\cdot\cos\alpha.
Из формулы для медианы треугольника (см. задачу 4014) следует, что
MN^{2}=m^{2}=\frac{1}{4}(2a^{2}+2b^{2}-c^{2})=\frac{1}{2}\left(a^{2}+b^{2}-\frac{c^{2}}{2}\right)=
=\frac{1}{2}(a^{2}+b^{2}-128)=\frac{1}{2}(256+2\cdot78\cdot\cos\alpha-128)=64+78\cdot\cos\alpha.
Поэтому медиана MN
— наименьшая, если \cos\alpha
— наименьший.
Поскольку \sin\alpha=\frac{4}{5}
, то \cos\alpha
— наименьший, если угол KML
— тупой, т. е. когда \cos\alpha=-\frac{3}{5}
.
Осталось проверить, что полученный треугольник удовлетворяет всем условиям задачи. Для этого достаточно показать, что его высота MH
меньше расстояния от середины N
стороны KL
до середины P
дуги KL
, содержащей точку M
.
Действительно,
\tg\angle NPL=\tg\frac{1}{2}\angle KPL=\tg\frac{1}{2}\angle KML=\tg\frac{\alpha}{2}=\frac{\sin\alpha}{1+\cos{\alpha}}=\frac{\frac{4}{5}}{1-\frac{3}{5}}=2.
Следовательно,
PN=\frac{NL}{\tg\frac{\alpha}{2}}=\frac{8}{2}=4\gt\frac{39}{10}=MH.
Что и требовалось доказать.
Источник: Вступительный экзамен на геологический факультет МГУ. — 1998 (май), вариант 1, № 5