3926. Две окружности касаются друг друга внешним образом в точке A
. Их общая касательная касается первой окружности в точке B
, а второй в точке C
. Прямая, проходящая через точки A
и B
, пересекает вторую окружность в точке D
. Известно, что AB=5
, AD=4
. Найдите CD
.
Ответ. 6.
Указание. Докажите, что CA
— высота прямоугольного треугольника BCD
, проведённая из вершины C
прямого угла.
Решение. Пусть общая касательная, проведённая к данным окружностям в точке A
пересекает отрезок BC
в точке K
. Тогда BK=KA=KC
. Поэтому \angle BAC=90^{\circ}
(см. задачу 1188). Значит, хорда CD
второй окружности видна из точки A
этой окружности под прямым углом. Следовательно, CD
— диаметр второй окружности, а так как BC
— касательная, то \angle BCD=90^{\circ}
.
Таким образом, отрезок AD
— проекция катета CD
прямоугольного треугольника BCD
на гипотенузу BD
. Следовательно,
CD^{2}=AD\cdot BD=4\cdot9=36~\Rightarrow~CD=6.