3928. Середины высот треугольника ABC
лежат на одной прямой. Наибольшая сторона треугольника AB=10
. Какое максимальное значение может принимать площадь треугольника ABC
?
Ответ. 25.
Указание. Докажите, что треугольник, удовлетворяющий условию задачи, — прямоугольный. Для этого воспользуйтесь следующим утверждением: если прямая пересекает сторону треугольника и не проходит через вершину, то она пересекает ещё ровно одну его сторону.
Решение. Воспользуемся следующим утверждением (см. задачу 806): если прямая пересекает сторону треугольника и не проходит через вершину, то она пересекает ещё ровно одну его сторону. (См. А.В.Погорелов, Геометрия 7-11, 5-е издание, стр.17).
Пусть A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
— середины сторон соответственно BC
, AC
и BC
данного треугольника ABC
(рис. 1). Тогда середины высот этого треугольника лежат на прямых B_{1}C_{1}
, A_{1}C_{1}
и A_{1}B_{1}
, причём хотя бы одна из этих середин лежит на стороне треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
, а не на её продолжении.
Пусть середины высот треугольника ABC
лежат на прямой l
, причём эта прямая пересекает сторону B_{1}C_{1}
треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
и не проходит ни через одну его вершину.
Если данный треугольник ABC
не прямоугольный, т. е. ни одна из сторон не является его высотой, и середины его высот лежат на одной прямой l
, то эта прямая, в соответствии с приведённым выше утверждением, должна пересечь ровно одну из двух оставшихся сторон треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
, что противоречит условию задачи (в случае остроугольного треугольника прямая l
имеет по одной общей точке с этими сторонами, а в случае тупоугольного — ни одной).
Следовательно, треугольник ABC
— прямоугольный, а так как прямой угол в треугольнике лежит против наибольшей стороны, то \angle ACB=90^{\circ}
.
Площадь прямоугольного треугольника с постоянной гипотенузой AB
максимальна, если максимальна высота CH
этого треугольника, проведённая из вершины прямого угла (рис. 2). Поскольку вершина C
лежит на окружности с диаметром AB
, то высота CH
максимальна, если C
— середина дуги AB
этой окружности.
В этом случае треугольник ABC
— равнобедренный и CH=\frac{1}{2}AB=5
. Тогда
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot CH=\frac{1}{2}\cdot10\cdot5=25.