3960. В четырёхугольник ABCD
можно вписать окружность. Пусть K
— точка пересечения его диагоналей. Известно, что AB\gt BC\gt KC
, BK=4+\sqrt{2}
, а периметр и площадь треугольника BKC
равны соответственно 14 и 7. Найдите DC
.
Ответ. 6.
Указание. Применив формулу Герона, найдите стороны треугольника BKC
. Докажите, что AC\perp BD
. Докажите также, что если диагонали выпуклого четырёхугольника взаимно перпендикулярны, то суммы квадратов противоположных сторон равны.
Решение. Пусть p=7
— полупериметр, S=7
— площадь треугольника BKC
; L
, M
и N
— точки касания вписанной окружности этого треугольника со сторонами BC
, KC
и BK
соответственно. Обозначим KM=KN=x
, BL=BN=y
. Тогда
p-BK=7-(4+\sqrt{2})=3-\sqrt{2},~p-BC=KM=x,
p-KC=BL=y,~x+y=KN+BN=4+\sqrt{2}
(см. задачу 219).
По формуле Герона S=\sqrt{p(p-BK)(p-BC)(p-KC)}
, или 7=\sqrt{7(3-\sqrt{2})xy}
. Отсюда находим, что
xy=\frac{7}{3-\sqrt{2}}=3+\sqrt{2}.
Поскольку x+y=4+\sqrt{2}
, то числа x
и y
являются корнями квадратного уравнения t^{2}-(4+\sqrt{2})t+3+\sqrt{2}=0
. Значит, x=1
, y=3+\sqrt{2}
либо x=3+\sqrt{2}
, y=1
.
В первом из этих случаев
BC=BL+LC=BL+(p-BK)=y+7-(4+\sqrt{2})=
=3+\sqrt{2}+3-\sqrt{2}=6,
KC=KM+MC=KM+(p-BK)=x+7-(4+\sqrt{2})=
=1+3-\sqrt{2}=4-\sqrt{2}\lt6=BC,
во втором —
BC=BL+LC=BL+(p-BK)=y+7-(4+\sqrt{2})=
=1+3-\sqrt{2}=4-\sqrt{2},
KC=KM+MC=KM+(p-BK)=x+7-(4+\sqrt{2})=
=3+\sqrt{2}+3-\sqrt{2}=6\gt4-\sqrt{2}\gt BC,
что не удовлетворяет условию задачи. Таким образом, BC=6
, KC=4-\sqrt{2}
.
Поскольку
BK^{2}+KC^{2}=(4+\sqrt{2})^{2}+(4-\sqrt{2})^{2}=36=BC^{2},
то треугольник BKC
прямоугольный, \angle BKC=90^{\circ}
. Значит, диагонали четырёхугольника ABCD
перпендикулярны.
Докажем, что если диагонали выпуклого четырёхугольника взаимно перпендикулярны, то суммы квадратов противоположных сторон равны.
Действительно, пусть диагонали AC
и BD
такого четырёхугольника ABCD
пересекаются в точке K
. По теореме Пифагора
AB^{2}+CD^{2}=(KA^{2}+KB^{2})+(KC^{2}+KD^{2})=
=(KA^{2}+KD^{2})+(KB^{2}+KC^{2})=AD^{2}+BC^{2}.
Пусть для четырёхугольника ABCD
из нашей задачи AB=a
, BC=b
, CD=c
и AD=d
. Поскольку в него можно вписать окружность, то a+c=b+d
. Кроме того, по доказанному a^{2}+c^{2}=b^{2}+d^{2}
. Тогда
\syst{a+c=b+d\\a^{2}+c^{2}=b^{2}+d^{2}\\a\gt b}~\Leftrightarrow~\syst{a-b=d-c\\a^{2}-b^{2}=d^{2}-c^{2}\\a\gt b}~\Leftrightarrow~\syst{a-b=d-c\\(a-b)(a+b)=(d-c)(d+c)\\a\gt b}~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~\syst{a-b=d-c\\(a-b)(a+b)=(a-b)(d+c)\\a\gt b}~\Leftrightarrow~\syst{a-b=d-c\\a+b=d+c\\a\gt b}~\Leftrightarrow~\syst{a=d\\b=c\\a\gt b.}
Следовательно, CD=c=b=BC=6
.
Источник: Вступительный экзамен на факультет вычислительной математики и кибернетики (ВМК) МГУ. — 1998 (май), вариант 1, № 4