3964. Дан равнобедренный треугольник ABC
с основанием AC
. На продолжении стороны CB
за точку B
отмечена такая точка D
, что угол CAD
равен углу ABD
.
а) Докажите, что AB
— биссектриса угла CAD
.
б) Найдите AD
, если боковая сторона треугольника ABC
равна 5, а его основание равно 6.
Ответ. \frac{150}{11}
.
Указание. Треугольник BAD
подобен треугольнику ACD
.
Решение. а) Обозначим \angle ABD=\angle CAD=\alpha
. По теореме о внешнем угле треугольника
\angle BAC=\angle ACB=\frac{\alpha}{2}=\frac{1}{2}\angle CAD.
Следовательно, AB
— биссектриса угла CAD
.
б) По свойству биссектрисы треугольника (см. задачу 1509)
\frac{AD}{BD}=\frac{AC}{BC}=\frac{6}{5}.
Положим AD=6x
, BD=5x
. Треугольник BAD
подобен треугольнику ACD
по двум углам (\angle ABD=\angle CAD
по условию, угол при вершине D
— общий), значит, \frac{AD}{CD}=\frac{AB}{AC}
, или \frac{6x}{5x+5}=\frac{5}{6}
. Отсюда находим, что x=\frac{25}{11}
. Следовательно, AD=6x=\frac{150}{11}
.
Источник: Диагностические и тренировочные задачи ЕГЭ. — 2014