4012. В равнобедренном треугольнике с боковой стороной, равной 4, проведена медиана к боковой стороне. Найдите основание треугольника, если медиана равна 3.
Ответ. \sqrt{10}
.
Указание. Достройте данный треугольник до параллелограмма.
Решение. Обозначим через x
основание BC
равнобедренного треугольника ABC
. На продолжении медианы BM
за точку M
отложим отрезок DM
, равный BM
. Тогда BADC
— параллелограмм. Поэтому (см. задачу 4011)
AC^{2}+BD^{2}=2(AB^{2}+BC^{2}),~\mbox{или}~16+36=2\cdot16+2x^{2}.
Отсюда находим, что x^{2}=10
.
Источник: Сборник задач по математике для поступающих во втузы / Под ред. М. И. Сканави. — 5-е изд. — М.: Высшая школа, 1988. — № 10.008, с. 159
Источник: Говоров В. М. и др. Сборник конкурсных задач по математике. — М.: Наука, 1986. — № 78, с. 190
Источник: Вступительный экзамен в МТИМБО. — 1979
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2010. Математика. Задача C4. Геометрия. Планиметрия. — М.: МЦНМО, 2010. — № 2.6, с. 17