4031. В параллелограмме ABCD
высота, проведённая из вершины B
тупого угла на сторону DA
, делит её в отношении 5:3
, считая от вершины D
. Найдите отношение AC:BD
, если AD:AB=2
.
Ответ. 2:1
.
Указание. Примените теорему о сумме квадратов диагоналей параллелограмма.
Решение. Обозначим AD=8x
, AB=4x
. Пусть K
— основание указанной высоты. Тогда
AK=3x,~DK=5x,~BK=\sqrt{AB^{2}-KC^{2}}=x\sqrt{7},
BD^{2}=BK^{2}+KD^{2}=32x^{2}.
Поскольку
AC^{2}+BD^{2}=2\cdot AB^{2}+2\cdot BC^{2}
(см. задачу 4011), то
AC^{2}+32x^{2}=32x^{2}+128x^{2}.
Отсюда находим, что
AC^{2}=128x^{2},~AC=8x\sqrt{2}.
Следовательно,
\frac{AC}{BD}=\frac{8x\sqrt{2}}{4x\sqrt{2}}=2.