4063. В треугольнике ABC
на сторонах AB
, BC
и AD
взяты соответственно точки K
, L
и M
. Известно, что AK=5
, KB=3
, BL=2
, LC=7
, CM=1
, MA=6
, Найдите расстояние от точки M
до середины KL
.
Ответ. \frac{1}{2}\sqrt{\frac{3529}{21}}
.
Указание. Примените теорему косинусов и формулу для медианы треугольника.
Решение. Поскольку AB=8
, BC=9
, AC=7
, то по теореме косинусов
\cos\angle A=\frac{8^{2}+7^{2}-9^{2}}{2\cdot7\cdot8}=\frac{32}{16\cdot7}=\frac{2}{7},
\cos\angle B=\frac{8^{2}+9^{2}-7^{2}}{2\cdot8\cdot9}=\frac{96}{16\cdot9}=\frac{2}{3},
\cos\angle C=\frac{9^{2}+7^{2}-8^{2}}{2\cdot9\cdot7}=\frac{66}{2\cdot63}=\frac{11}{21}.
Из треугольников AKM
, BKL
и CML
находим, что
KM^{2}=5^{2}+6^{2}-2\cdot5\cdot6\cdot\cos\angle A=61-\frac{120}{7}=\frac{307}{7},
KL^{2}=3^{2}+2^{2}-2\cdot3\cdot2\cdot\cos\angle B=13-8=5,
ML^{2}=7^{2}+1^{2}-2\cdot7\cdot1\cdot\cos\angle C=50-\frac{22}{3}=\frac{128}{3}.
Пусть P
— середина KL
. Из треугольника KML
по формуле для медианы (см. задачу 4014) находим, что
MP^{2}=\frac{1}{4}(2MK^{2}+2ML^{2}-KL^{2})=\frac{1}{4}\left(2\cdot\frac{307}{7}+2\cdot\frac{128}{3}-5\right)=
=\frac{1}{84}\left(6\cdot307+14\cdot128-\frac{21}{5}\right)=\frac{1}{84}(1842+1792-105)=\frac{3529}{84}.