4106. Площадь прямоугольного треугольника ABC
(\angle C=90^{\circ}
) равна 6, радиус описанной около него окружности равен \frac{5}{2}
. Найдите радиус окружности, вписанной в данный треугольник.
Ответ. 1.
Указание. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник с катетами a
, b
и гипотенузой c
, равен \frac{a+b-c}{2}
.
Решение. Известно, что радиус r
окружности, вписанной в прямоугольный треугольник с катетами a
, b
и гипотенузой c
, равен \frac{a+b-c}{2}
, а площадь равна \frac{ab}{2}
.
Поскольку центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, совпадает с серединой гипотенузы, то c=5
. По теореме Пифагора a^{2}+b^{2}=25
. Поэтому
(a+b)^{2}=a^{2}+b^{2}+2ab=25+4\cdot6=49,~a+b=7.
Следовательно (см. задачу 217),
r=\frac{a+b-c}{2}=\frac{7-5}{2}=1.