4107. Медиана RM
прямоугольного треугольника PQR
(\angle R=90^{\circ}
) равна \frac{5}{4}
, Найдите площадь треугольника PQR
, если его периметр равен 6.
Ответ. \frac{3}{2}
.
Решение. Пусть a
и b
— катеты треугольника, c
— гипотенуза. По условию a+b+c=6
.
Поскольку медиана прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы (см. задачу 1109), то c=\frac{5}{2}
. По теореме Пифагора a^{2}+b^{2}=c^{2}=\frac{25}{4}
. Поэтому
(a+b)^{2}=a^{2}+b^{2}+2ab=\frac{25}{4}+2ab,
откуда находим, что ab=\frac{1}{2}\left((a+b)^{2}-\frac{25}{4}\right)
. Следовательно,
S_{\triangle{PQR}}=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\left((a+b)^{2}-\frac{25}{4}\right)=
=\frac{1}{4}\left((6-c)^{2}-\frac{25}{4}\right)=\frac{1}{4}\left(\left(6-\frac{5}{2}\right)^{2}-\frac{25}{4}\right)=\frac{1}{4}\left(\frac{49}{4}-\frac{25}{4}\right)=\frac{1}{4}\cdot6=\frac{3}{2}.