4118. В треугольнике ABC
проведены высоты AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
. Через точки A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
проведены прямые, соответственно параллельные диаметрам описанной около треугольника ABC
окружности, проходящим через точки A
, B
и C
. Докажите, что эти прямые имеют общую точку.
Указание. Если BB_{1}
и CC_{1}
— высоты треугольника ABC
, а O
— центр описанной окружности этого треугольника, то OA\perp B_{1}C_{1}
(см. задачу 480).
Решение. Пусть O
— центр окружности. Тогда OA\perp B_{1}C_{1}
(см. задачу 480), поэтому прямая, проходящая через точку A_{1}
параллельно OA
, также перпендикулярна B_{1}C_{1}
. Значит, эта прямая содержит высоту треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
, проведённую через вершину A_{1}
. Аналогично две остальные прямые, о которых говорится в условии задачи, содержат высоты треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
. Следовательно, все три прямые проходят через ортоцентр треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
.