4119. В треугольнике ABC
проведены высоты AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
. В треугольниках AB_{1}C_{1}
, BA_{1}C_{1}
и CA_{1}B_{1}
через вершины соответственно A
, B
и C
проведены высоты. Докажите, что прямые, содержащие эти высоты, имеют общую точку.
Указание. Если BB_{1}
и CC_{1}
— высоты треугольника ABC
, а O
— центр описанной окружности этого треугольника, то OA\perp B_{1}C_{1}
(см. задачу 480).
Решение. Пусть O
— центр окружности, описанной около треугольника ABC
. Тогда OA\perp B_{1}C_{1}
, OB\perp A_{1}C_{1}
и OC\perp A_{1}B_{1}
(см. задачу 480), поэтому прямые, содержащие указанные в условии высоты треугольников AB_{1}C_{1}
, BA_{1}C_{1}
и CA_{1}B_{1}
, — это прямые OA
, OB
и OC
. Следовательно, они проходят через точку O
.