4125. Докажите, что произведение радиусов трёх вневписанных окружностей треугольника равно произведению площади треугольника на его полупериметр.
Решение. Пусть r_{a}
, r_{b}
, r_{c}
— радиусы вневписанных окружностей, касающихся сторон треугольника, равных a
, b
, c
соответственно, S
— площадь треугольника, p
— полупериметр. Требуется доказать, что r_{a}r_{b}r_{c}=Sp
.
Применив формулы
r_{a}=\frac{S}{p-a},~r_{b}=\frac{S}{p-b},~r_{c}=\frac{S}{p-c}
(см. задачу 392) и формулу Герона (см. задачу 2730), получим, что
r_{a}r_{b}r_{c}=\frac{S}{p-a}\cdot\frac{S}{p-b}\cdot\frac{S}{p-c}=\frac{S^{3}}{(p-a)(p-b)(p-c)}=
=\frac{S^{3}p}{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\frac{S^{3}p}{S^{2}}=Sp.
Что и требовалось доказать.