4139. Стороны треугольника равны a
, b
и c
. Через центр вписанной окружности треугольника проведена прямая, параллельная стороне, равной a
. Найдите длину отрезка этой прямой, заключённого внутри треугольника.
Ответ. \frac{a(b+c)}{a+b+c}
.
Указание. Биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.
Решение. Пусть BC=a
, AC=b
, AB=c
, а прямая, проходящая через центр I
вписанной окружности параллельно стороне BC
, пересекает стороны AB
и AC
в точках M
и N
соответственно.
I
— точка пересечения биссектрис треугольника ABC
, значит, биссектриса AL
треугольника ABC
проходит через точку I
.
По свойству биссектрисы треугольника (см. задачу 1509) \frac{BL}{LC}=\frac{AB}{AC}=\frac{c}{b}
, поэтому BL=\frac{ac}{b+c}
, а так как BI
— биссектриса треугольника ABL
, то
\frac{AI}{IL}=\frac{AB}{BL}=\frac{c}{\frac{ac}{b+c}}=\frac{b+c}{a},
поэтому
\frac{AM}{AB}=\frac{AI}{AL}=\frac{b+c}{a+b+c}.
Треугольник AMN
подобен треугольнику ABC
с коэффициентом \frac{AM}{AB}=\frac{b+c}{a+b+c}
, следовательно,
MN=BC\cdot\frac{AM}{AB}=a\cdot\frac{b+c}{a+b+c}=\frac{a(b+c)}{a+b+c}.
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 1: Планиметрия, преобразования плоскости. — М.: МЦНМО, 2004. — № 4.21, с. 43