4187. На неравных сторонах
AB
и
AC
треугольника
ABC
внешним образом построены равнобедренные треугольники
AC_{1}B
и
AB_{1}C
с углом
\varphi
при вершине,
M
— точка медианы
AA_{1}
(или её продолжения), равноудалённая от точек
B_{1}
и
C_{1}
. Докажите, что
\angle B_{1}MC_{1}=\varphi
.
Решение. Лемма. Пусть на сторонах
AB
и
AC
треугольника
ABC
внешним образом построены прямоугольные треугольники
ABC_{1}
и
AB_{1}C
(рис. 1), причём
\angle C_{1}=\angle B_{1}=90^{\circ}
,
\angle ABC_{1}=\angle ACB_{1}=\beta
;
M
— середина
BC
. Тогда
MB_{1}=MC_{1}
и
\angle B_{1}MC_{1}=2\beta
.
Доказательство. Пусть
P
и
Q
— середины сторон
AB
и
AC
соответственно. Тогда
APMQ
— параллелограмм. Докажем, что треугольники
MQB_{1}
и
C_{1}PM
равны.
Действительно,
B_{1}Q
и
C_{1}P
— медианы прямоугольных треугольников
AB_{1}C
и
ABC_{1}
, поэтому (см. задачу 1109)
B_{1}Q=\frac{1}{2}AC=AQ=PM,~MQ=AP=\frac{1}{2}AB=C_{1}P,

\angle MQB_{1}=\angle MQA+\angle AQB_{1}=\angle MQA+2\beta,~

\angle C_{1}PM=\angle APM+\angle APC_{1}=\angle APM+2\beta=\angle MQA+2\beta=\angle MQB_{1}.

Значит, треугольники
MQB_{1}
и
C_{1}PM
равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно,
MB_{1}=MC_{1}

Обозначим
\angle BAC=\alpha
. Тогда
\angle B_{1}MC_{1}=\angle PMQ-(\angle QMB_{1}+\angle PMC_{1})=\alpha-(\angle QMB_{1}+\angle MB_{1}Q)=

=\alpha-(180^{\circ}-\angle MQB_{1})=\alpha-180^{\circ}+\angle MQB_{1}=\alpha-180^{\circ}+(180^{\circ}-\alpha+2\beta)=2\beta.

(Случай, когда
\angle C_{1}PB+\angle BPM\gt180^{\circ}
, разбирается аналогично.)
Лемма доказана.
Перейдём к нашей задаче. Пусть прямая, проходящая через точку
B_{1}
перпендикулярно
AB_{1}
, пересекает сторону
AC
в точке
L
, а прямая, проходящая через точку
C_{1}
перпендикулярно
AC_{1}
, пересекает сторону
AB
в точке
K
(рис. 2). Тогда
\frac{AL}{AK}=\frac{AB_{1}}{AC_{1}}=\frac{AC}{AB}
, значит,
KL\parallel BC
, поэтому точка
N
пересечения медианы
AA_{1}
с отрезком
KL
— середина
KL
. По лемме точка
N
равноудалена от точек
B_{1}
и
C_{1}
, а значит, совпадает с точкой
M
. Кроме того,
\angle B_{1}MC_{1}=2\angle ALB_{1}=2(90^{\circ}-\angle B_{1}AC)=180^{\circ}-2\angle B_{1}AC=180^{\circ}-2\left(90^{\circ}-\frac{\varphi}{2}\right)=\varphi.

Что и требовалось доказать.