4237. Докажите, что координаты точки пересечения медиан треугольника есть средние арифметические соответствующих координат вершин треугольника.
Решение. Пусть A(x_{1};y_{1})
, B(x_{2};y_{2})
и C(x_{3};y_{3})
— вершины треугольника, M(x_{0};y_{0})
— точка пересечения его медиан.
Первый способ. Известно, что для любой точки O
верно равенство
\overrightarrow{OM}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}).
Пусть O(0;0)
— начало координат. Тогда координаты векторов \overrightarrow{OA}
, \overrightarrow{OB}
, \overrightarrow{OC}
и \overrightarrow{OM}
есть координаты точек A
, B
, C
и M
соответственно. Следовательно, указанное выше векторное равенство равносильно двум числовым равенствам:
x_{0}=\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3},~y_{0}=\frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}.
Второй способ. Известно, что медианы треугольника делятся точкой пересечения в отношении 2:1
, считая от вершины. Поэтому, если D(x_{4};y_{4})
— середина отрезка BC
, то AM:MD=2:1
.
Поскольку точка M(x_{0};y_{0})
делит отрезок с концами в точках A(x_{1};y_{1})
и D(x_{4};y_{4})
в отношении 2:1
, считая от точки A
, то по теореме о пропорциональных отрезках проекция точки M
на ось OX
делит проекцию отрезка AD
на эту ось в том же отношении, т. е.
\frac{x_{0}-x_{1}}{x_{4}-x_{0}}=2.
Отсюда находим, что
x_{0}=\frac{x_{1}+2x_{4}}{3}.
Аналогично находим, что
y_{0}=\frac{y_{1}+2y_{4}}{3}.
Поскольку D(x_{4};y_{4})
— середина отрезка BC
, то
x_{4}=\frac{x_{2}+x_{3}}{2},~y_{0}=\frac{y_{2}+y_{3}}{2}.
Окончательно получим, что
x_{0}=\frac{x_{1}+2x_{4}}{3}=\frac{x_{1}+2\cdot\frac{x_{2}+x_{3}}{2}}{3}=\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3},
y_{0}=\frac{y_{1}+2y_{4}}{3}=\frac{y_{1}+2\cdot\frac{y_{2}+y_{3}}{2}}{3}=\frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}.
Примечание. Для треугольника в пространстве соответствующие равенства также верны (см. примечание к задаче 4505).