4285. Докажите, что при гомотетии с центром в точке пересечения высот треугольника и коэффициентом \frac{1}{2}
описанная окружность треугольника переходит в окружность девяти точек.
Указание. Окружность девяти точек проходит через середины отрезков, соединяющих ортоцентр треугольника с его вершинами.
Решение. Пусть H
— точка пересечения высот треугольника ABC
; A'
, B'
и C'
— середины отрезков AH
, BH
и CH
соответственно. При гомотетии с центром H
и коэффициентом \frac{1}{2}
точки A
, B
и C
переходят в точки A'
, B'
и C'
соответственно. Следовательно, окружность, проходящая через точки A
, B
и C
, переходит в окружность, проходящую через точки A'
, B'
и C'
, т. е. в окружность девяти точек (см. задачу 174).