4289. С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по его биссектрисе и отрезкам, на которые она делит сторону треугольника.
Решение. Пусть нужный треугольник ABC
построен (рис. 1), CD=l_{c}
— данная биссектриса, BD=a'
и AD=b'
— данные отрезки, на которые она делит сторону AB
. Обозначим BC=a
, AC=b
.
Первый способ. По формуле для квадрата биссектрисы треугольника (рис. 1)
l_{c}^{2}=CD^{2}=BC\cdot AC-BD\cdot AD=ab-a'b'
(см. задачу 791). По свойству биссектрисы треугольника
\frac{a'}{b'}=\frac{BD}{AD}=\frac{BC}{AC}=\frac{a}{b}.
Отсюда вытекает следующее построение. По данным отрезкам a'
и b'
строим отрезок x=\sqrt{a'b'}
— среднее геометрическое отрезков a'
и b'
. Зная отрезок x
и данный отрезок l_{c}
, строим отрезки
y=\sqrt{ab}=\sqrt{l_{c}^{2}+a'b'}=\sqrt{l_{c}^{2}+x^{2}}~\mbox{и}~z=\frac{a'}{b'}\cdot y.
Поскольку
a^{2}=\frac{a}{b}\cdot ab=\frac{a'}{b'}\cdot y^{2},
то можно построить отрезок
a=\sqrt{\frac{a'}{b'}\cdot y^{2}}=\sqrt{\frac{a'}{b'}\cdot y\cdot y}=\sqrt{z\cdot y}.
По известным отрезкам a
, a'
и l_{c}
строим треугольник BCD
. Далее очевидно.
Второй способ. Известно, что геометрическое место точек, отношение расстояний от каждой из которых до двух заданных точек A
и B
постоянно и отлично от 1, есть окружность (окружность Аполлония, см. задачу 2444).
Пусть a'\gt b'
. Тогда биссектриса внешнего угла при вершине C
пересекает продолжение стороны BA
за точку A
(рис. 2). Обозначим точку пересечения через E
. Тогда по свойству биссектрисы внешнего угла треугольника
\frac{BE}{AE}=\frac{BC}{AC}=\frac{a}{b}=\frac{a'}{b'}~\Rightarrow~\frac{AE}{AB}=\frac{b'}{a'-b'}.
Значит, можно построить отрезок
AE=AB\cdot\frac{b'}{a'-b'}=\frac{(a'+b')\cdot b'}{a'-b'}.
(Отрезок DE
виден из искомой точки C
под прямым углом.) Далее на отрезке AB
строим как на диаметре окружность — окружность Аполлония для точек A
и B
и отношения \frac{a'}{b'}
. Тогда искомая вершина C
— это точка пересечения построенной окружности с окружностью с центром D
и радиусом l_{c}
.