4292. В прямоугольник вписан четырёхугольник (на каждой стороне прямоугольника по одной вершине четырёхугольника). Докажите, что периметр четырёхугольника не меньше удвоенной диагонали прямоугольника.
Решение. Пусть вершины K
, L
, M
и N
четырёхугольника KLMN
лежат на сторонах соответственно AB
, BC
, CD
и AD
прямоугольника ABCD
. Обозначим KN=a
, KL=b
, LM=c
, MN=d
, AC=BD=e
.
Отобразим наш чертёж симметрично относительно прямой BC
. Получим прямоугольник BA_{1}D_{1}C
, в который вписан четырёхугольник K_{1}N_{1}M_{1}L
. Затем отобразим полученный прямоугольник относительно прямой BA_{1}
. Получим прямоугольник BA_{1}D_{2}C_{2}
, в который вписан четырёхугольник K_{1}N_{2}M_{2}L_{2}
. Наконец, отобразим исходный прямоугольник ABCD
относительно прямой CD
. Получим прямоугольник CB_{3}A_{3}D
, в который вписан четырёхугольник L_{3}K_{3}N_{3}M
.
Тогда длина ломаной N_{3}MLK_{1}N_{2}
равна
N_{3}M+ML+LK_{1}+K_{1}N_{2}=d+c+b+a.
В то же время
N_{3}M+ML+LK_{1}+K_{1}N_{2}\geqslant N_{3}N_{2}=A_{3}A_{1}=A_{3}C+CA_{1}=2e.
Следовательно, a+b+c+d\geqslant2e
. Что и требовалось доказать.
Примечание. Наименьшее значение 2e
периметра такого четырёхугольника достигается в случае, когда вершины четырёхугольника — середины сторон данного четырёхугольника. Тогда четырёхугольник — ромб, сторона которого равна половине диагонали e
данного прямоугольника (см. задачу 1204).