4297. Пусть a
, b
, c
— длины сторон треугольника, \gamma
— величина угла, противолежащего стороне, равной c
. Докажите, что c\geqslant(a+b)\sin\frac{\gamma}{2}
.
Решение. Рассмотрим треугольник ABC
, в котором BC=a
, AC=b
, AB=c
, \angle ACB=\gamma
.
Первый способ. Опустим из вершин A
и B
перпендикуляры AA_{1}
и BB_{1}
на биссектрису угла ACB
(рис. 1). Тогда
c=AB\geqslant AA_{1}+BB_{1}=b\sin\frac{\gamma}{2}+a\sin\frac{\gamma}{2}=(a+b)\sin\frac{\gamma}{2}.
Второй способ. На продолжении стороны BC
за точку C
отложим отрезок CD=b
(рис. 2). Из теоремы о внешнем угле треугольника следует, что в равнобедренном треугольнике ACD
угол при вершине D
равен \frac{\gamma}{2}
.
Пусть H
— проекция точки B
на прямую AD
. Тогда
BH=BD\cdot\sin\angle ADB=(BC+CD)\sin\frac{\gamma}{2}=(a+b)\sin\frac{\gamma}{2}.
Следовательно,
c=AB\geqslant BH=(a+b)\sin\frac{\gamma}{2}.
Третий способ. Пусть BC=a
, AC=b
, AB=c
; CD
— биссектриса треугольника ABC
, CH
— высота. Тогда \frac{BD}{AD}=\frac{b}{a}
(см. задачу 1509), поэтому BD=\frac{ac}{a+b}
. Выражая площадь треугольника BCD
двумя способами, получим
\frac{1}{2}BD\cdot CH=\frac{1}{2}BC\cdot CD\sin\angle BCD,~\mbox{или}~\frac{ac}{a+b}\cdot CH=a\cdot CD\sin\frac{\gamma}{2}.
Следовательно, так как \frac{CD}{CH}\geqslant1
, то
c=(a+b)\sin\frac{\gamma}{2}\cdot\frac{CD}{CH}\geqslant(a+b)\sin\frac{\gamma}{2}.
Что и требовалось доказать.