4300. Найдите геометрическое место ортоцентров (точек пересечения высот) всевозможных треугольников, вписанных в данную окружность.
Ответ. Внутренность круга в 3 раза большего радиуса с тем же центром.
Указание. Докажите, что геометрическое место точек пересечения медиан всевозможных треугольников, вписанных в данную окружность, есть внутренность круга, ограниченного данной окружностью. Далее см. задачу 5044.
Решение. Докажем сначала, что геометрическое место точек пересечения медиан указанных треугольников есть внутренность круга, ограниченного данной окружностью.
Точка пересечения медиан каждого такого треугольника лежит внутри него и, тем более, внутри его описанной окружности.
Пусть M
— произвольная точка внутри данной окружности. Проведём через точку M
диаметр окружности и пусть A
— ближайший к M
конец этого диаметра. Отложим на продолжении отрезка AM
за точку M
отрезок MK=\frac{1}{2}AM
. Ясно, что точка K
лежит внутри круга. Проведём через K
хорду BC
, перпендикулярную OA
. Тогда K
— середина этой хорды, а M
— точка пересечения медиан треугольника ABC
.
В любом треугольнике точка M
пересечения медиан, точка H
пересечения высот и центр O
описанной окружности лежат на одной прямой (прямой Эйлера), причём точка M
лежит между O
и H
, и OH=3OM
(см. задачу 5044). Из этого следует, что искомое ГМТ — внутренность круга, концентрического данному, а его радиус втрое больше радиуса данного круга.