4312. Пусть M
— внутренняя точка прямоугольника ABCD
, а S
— его площадь. Докажите, что S\leqslant AM\cdot CM+BM\cdot DM
.
Указание. При параллельном переносе на вектор \overrightarrow{BA}
треугольник BMC
перейдёт в равный ему треугольник AND
. Далее см. задачу 530.
Решение. Заметим, что площадь прямоугольника ABCD
равна удвоенной сумме площадей треугольников BMC
и AMD
.
При параллельном переносе на вектор \overrightarrow{BA}
треугольник BMC
перейдёт в равный ему треугольник AND
. Поэтому
S=2(S_{\triangle AMD}+S_{\triangle BMC})=2S_{AMDN}\leqslant
\leqslant AM\cdot DN+BM\cdot AN=AM\cdot CM+BM\cdot DM
(см. задачу 530). Что и требовалось доказать.
Автор: Гольдшейд И.
Источник: Турнир городов. — 1987-1988, X, осенний тур, старшие классы, основной вариант
Источник: Журнал «Квант». — 1989, № 11, с. 26, M1169