4323. В трапеции
ABCD
известно, что
AB
— основание,
AC=BC
,
H
— середина
AB
. Пусть
l
— прямая, проходящая через точку
H
и пересекающая прямые
AD
и
BD
в точках
P
и
Q
соответственно. Докажите, что либо углы
ACP
и
QCB
равны, либо их сумма равна
180^{\circ}
.
Решение. Пусть
M
и
N
— точки пересечения прямых соответственно
CP
и
CQ
с прямой
AB
,
K
— точка пересечения прямых
PQ
и
CD
. Тогда
DC:AM=DP:AP=DK:AH,

DC:BN=DQ:BQ=DK:BH,

а так как
AH=BH
, то
DC:AM=DC:BN
. Следовательно,
AM=BN
.
Рассмотрим случай, изображённый на рис. 1: точка
P
лежит на продолжении стороны
AD
за точку
A
. Тогда точка
Q
лежит на отрезке
BD
(см. задачу 806), а точки
M
и
N
— на отрезке
AB
. Треугольники
ACM
и
BCN
равны по двум сторонам (
AC=BC
,
AM=BN
) и углу между ними (
\angle CAM=\angle CBN
как углы при основании равнобедренного треугольника
ABC
), следовательно,
\angle ACP=\angle ACM=\angle BCN=\angle BCQ.

Пусть точка
P
лежит на продолжении стороны
AD
за точку
D
(рис. 2). Тогда точка
Q
лежит на отрезке
BD
(см. задачу 806), точки
M
и
N
— на отрезке
AB
. Треугольники
ACM
и
BCN
равны по двум сторонам (
AC=BC
,
AM=BN
) и углу между ними (
\angle CAM=\angle CBN
как углы при основании равнобедренного треугольника
ABC
), следовательно,
\angle ACP=180^{\circ}-\angle ACM=180^{\circ}-\angle BCN=180^{\circ}-\angle BCQ.

Если точка
P
лежит на отрезке
AD
, а точка
Q
— на продолжении
BD
за точку
B
(рис. 3), то аналогично первому случаю
\angle ACP=\angle BCQ
.
Если точка
P
лежит на отрезке
AD
, а точка
Q
— на продолжении
BD
за точку
D
(рис. 4), то аналогично второму случаю
\angle ACP=180^{\circ}-\angle BCQ
.
(Заметим, что во всех случаях обе точки
M
и
N
лежат либо внутри, либо вне отрезка
AB
.)




Примечание. См. также решения «Задачника Кванта» (Квант, 1990, N12, с.23-24), где приведено решение с выходом в пространство.
Автор: Шарыгин И. Ф.
Источник: Турнир городов. — 1989-1990, XI, весенний тур, старшие классы, основной вариант
Источник: Журнал «Квант». — 1990, № 7, с. 30, М1233; 1990, № 12, с. 23, М1233
Источник: Задачник «Кванта». — М1233