4324. Через вершины A
и B
треугольника ABC
проведены две параллельные прямые, а прямые m
и n
симметричны им относительно биссектрис соответствующих углов. Докажите, что точка пересечения прямых m
и n
лежит на описанной окружности треугольника ABC
.
Решение. Пусть l
— прямая, проходящая через вершину C
параллельно двум прямым, о которых говорится в условии, L
— точка её пересечения с прямой AB
, D
— точка пересечения прямых m
и n
.
Рассмотрим случай, изображённый на рис. 1. На данных параллельных прямых отметим точки X
и Y
, лежащие по одну сторону от прямой AB
. Обозначим
\angle BAD=\angle CAX=\alpha,~\angle ABD=\angle CBY=\beta.
Тогда
\angle ACB=\angle ACL+\angle BCL=\angle CAX+\angle CBY=\alpha+\beta.
С другой стороны,
\angle ADB=180^{\circ}-\angle BAD-\angle ABD=180^{\circ}-\alpha-\beta=180^{\circ}-\angle ACB.
Следовательно, четырёхугольник ACBD
вписанный, т. е. точка D
лежит на описанной окружности треугольника ABC
.
Аналогично для остальных случаев.
Примечание. Разбора случаев можно избежать, если использовать ориентированные углы:
\angle(AD,DB)=\angle(m,AB)+\angle(AB,n)=\angle(AC,l)+\angle(l,CB)=\angle(AC,CB).
Следовательно, точка D
лежит на описанной окружности треугольника ABC
(см. задачу 873).