4334. Докажите, что если m
— медиана треугольника ABC
со сторонами AC=b
и AB=c
, проведённая из вершины A
, то 4m^{2}=b^{2}+c^{2}+2bc\cos\angle A
.
Решение. Пусть BC=a
. Тогда по теореме косинусов
a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos\angle A~\Rightarrow~b^{2}+c^{2}-a^{2}=2bc\cos\angle A.
Следовательно (см. задачу 4014),
4m=2b^{2}+2c^{2}-a^{2}=(b^{2}+c^{2})+(b^{2}+c^{2}-a^{2})=b^{2}+c^{2}+2bc\cos\angle A.
Что требовалось доказать.