4348. Известно, что вершины квадрата T
принадлежат прямым, содержащим стороны квадрата P
, а вписанная окружность квадрата T
совпадает с описанной окружностью квадрата P
. Найдите углы восьмиугольника, образованного вершинами квадрата P
и точками касания окружности со сторонами квадрата T
, и величины дуг, на которые вершины восьмиугольника делят окружность.
Ответ. Углы восьмиугольника равны 135^{\circ}
, дуги равны 30^{\circ}
и 60^{\circ}
.
Решение. Введём обозначения так, как показано на рисунке. Угол P_{1}M_{2}P_{2}
восьмиугольника вписан в окружность и опирается на дугу, равную 270^{\circ}
. Значит, он равен 135^{\circ}
.
Докажем, что угол M_{1}P_{1}M_{2}
также равен 135^{\circ}
. Действительно, при повороте на угол 90^{\circ}
вокруг центра O
окружности вся фигура переходит в себя, поэтому меньшие дуги P_{4}M_{1}
и P_{1}M_{2}
равны. Значит,
\angle M_{1}P_{1}M_{2}=90^{\circ}+\angle M_{1}P_{1}P_{4}+\angle M_{2}P_{1}P_{2}=
=90^{\circ}+\frac{1}{2}\cdot90^{\circ}=135^{\circ}
При рассматриваемом повороте точка M_{1}
переходит в M_{2}
, поэтому OM_{1}T_{1}M_{2}
— квадрат со стороной, равной радиусу окружности. Значит, M_{2}
— середина T_{1}T_{2}
, а P_{1}M_{2}
— медиана прямоугольного треугольника T_{1}P_{1}T_{2}
. Тогда P_{1}M_{2}=\frac{1}{2}T_{1}T_{2}
(см. задачу 1109), т. е. хорда P_{1}M_{2}
равна радиусу окружности. Значит, меньшая дуга P_{1}M_{2}
равна 60^{\circ}
, а меньшая дуга P_{1}M_{1}
равна 90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}
. Аналогично находятся остальные углы восьмиугольника.