4364. В треугольнике ABC
точки A'
, B'
, C'
лежат на сторонах BC
, CA
и AB
соответственно. Известно, что
\angle AC'B'=\angle B'A'C,~\angle CB'A'=\angle A'C'B,~\angle BA'C'=\angle C'B'A.
Докажите, что точки A'
, B'
, C'
— середины сторон треугольника ABC
.
Указание. Докажите, что четырёхугольники AB'A'C'
и BA'B'C'
— параллелограммы (см. задачу 1096).
Решение. Углы AC'A'
и AB'A'
равны, так как дополняют до 180^{\circ}
равные углы CB'A'
и A'C'B
. Углы B'AC'
и B'A'C'
равны, так как дополняют до 180^{\circ}
равные суммы \angle C'B'A+\angle AC'B'
и \angle BA'C'+\angle B'A'C
. Значит, AB'A'C'
— параллелограмм. Следовательно, AC'=B'A'
. Аналогично докажем, что BA'B'C'
— также параллелограмм, C'B=B'A'
. Поэтому AC'=C'B
, т. е. C'
— середина AB
. Для точек B'
и A'
доказательство аналогично.