4369. Пусть a
и b
— две данные стороны треугольника. Как подобрать третью сторону c
так, чтобы точки касания вписанной и вневписанной окружностей с этой стороной делили её на три равных отрезка? При каких a
и b
такая сторона существует? (Рассматривается вневписанная окружность, касающаяся стороны c
и продолжений сторон a
и b
.)
Ответ. c=3|a-b|
,
b\lt a\lt2b
или a\lt b\lt2a
.
Решение. Пусть вневписанная окружность треугольника ABC
касается стороны AB=c
в точке M
, а продолжений сторон BC=a
и AC=b
в точках P
и Q
соответственно.
Пусть вписанная окружность касается стороны AB=c
треугольника ABC
в точке N
, а стороны BC
— в точке K
. Предположим, что a\gt b
. Обозначим через p
полупериметр треугольника ABC
.
Из теореме о равенстве отрезков касательных, проведённых к окружности из одной точки, следует, что
CP=CQ,~BM=BP,~AM=AQ,
2p=CB+BA+AC=CB+(BM+MA)+AC=CB+(BP+AQ)+AC=
=(CB+BP)+(AQ+AC)=CP+CQ=CP,
поэтому CP=CQ=p
. Кроме того
BM=BP=CP-CB=p-a,~AN=p-a
(см. задачу 219), поэтому BM=AN
.
Из условия задачи следует, что
BP=BM=MN=\frac{c}{3},~AQ=AM=\frac{2c}{3},
а так как CP=CQ
, то
a+\frac{c}{3}=b+\frac{2c}{3},
откуда находим, что c=3(a-b)
.
Если a\lt b
, то аналогично получим, что c=3(b-a)
.
Треугольник со сторонами a
, b
, 3(a-b)
(при a\gt b
) существует тогда и только тогда, когда для этих чисел выполнено неравенство треугольника: 3(a-b)\lt a+b
. Отсюда a\lt2b
.
Таким образом, ответ на второй вопрос задачи таков: при b\lt a\lt2b
или a\lt b\lt2a
.
Примечание. В условии задачи М1621 есть пункт б): Существует ли прямоугольный треугольник, удовлетворяющий условиям пункта а)?
Ответ: да, существует, например, треугольник со сторонами 3, 4, 5 (см. Квант, 1998, N4, с.26).