4376. В прямоугольном равнобедренном треугольнике ABC
с прямым углом C
проведены биссектриса AM
и медиана BN
, пересекающиеся в точке K
. Найдите площадь треугольника, если AK=2+\sqrt{2}
.
Ответ. \frac{26+17\sqrt{2}}{4}
.
Решение. Положим AC=BC=2a
. Тогда AB=2a\sqrt{2}
. Рассмотрим треугольник ANB
. По формуле для биссектрисы треугольника (см. задачу 4021)
AK=\frac{2AN\cdot AB\cos\frac{1}{2}\angle BAN}{AN+AB}=\frac{2AN\cdot AB\cos\frac{\pi}{8}}{AN+AB},
или
2+\sqrt{2}=\frac{2a\cdot2a\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}}{a+2a\sqrt{2}}.
Отсюда находим, что
a=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}\cdot(1+2\sqrt{2})}{2\sqrt{2}}.
Следовательно,
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BC=2a^{2}=2\cdot\left(\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}\cdot(1+2\sqrt{2})}{2\sqrt{2}}\right)^{2}=\frac{26+17\sqrt{2}}{4}.