4377. В прямоугольном треугольнике ABC
с прямым углом C
проведены биссектриса BL
и медиана AM
, пересекающиеся в точке K
. Найдите углы треугольника, если \frac{LK}{KB}=4-2\sqrt{3}
.
Ответ. \angle BAC=60^{\circ}
, \angle ABC=30^{\circ}
.
Решение. Из равенства \frac{LK}{KB}=4-2\sqrt{3}
следует, что
\frac{BK}{BL}=\frac{1}{1+4-2\sqrt{3}}=\frac{1}{5-2\sqrt{3}}=\frac{5+2\sqrt{3}}{13}.
Обозначим BC=a
, \angle ABC=\beta
. Тогда
AB=\frac{BC}{\cos\beta}=\frac{a}{\cos\beta},~BL=\frac{BC}{\cos\frac{\beta}{2}}=\frac{a}{\cos\frac{\beta}{2}}.
По формуле для биссектрисы треугольника (см. задачу 4021)
BK=\frac{2AB\cdot BM\cos\frac{\beta}{2}}{AB+BM}=\frac{2\cdot\frac{a}{\cos\beta}\cdot\frac{a}{2}\cos\frac{\beta}{2}}{\frac{a}{\cos\beta}+\frac{a}{2}},
BL=\frac{2AB\cdot BC\cos\frac{\beta}{2}}{AB+BC}=\frac{2\cdot\frac{a}{\cos\beta}\cdot a\cos\frac{\beta}{2}}{\frac{a}{\cos\beta}+a},
значит,
\frac{BK}{BL}=\frac{\frac{2\cdot\frac{a}{\cos\beta}\cdot\frac{a}{2}\cos\frac{\beta}{2}}{\frac{a}{\cos\beta}+\frac{a}{2}}}{\frac{2\cdot\frac{a}{\cos\beta}\cdot a\cos\frac{\beta}{2}}{\frac{a}{\cos\beta}+a}}=\frac{\cos\beta+1}{\cos\beta+2}=\frac{5+2\sqrt{3}}{13}.
Отсюда находим, что \cos\beta=\frac{\sqrt{3}}{2}
. Следовательно,
\angle ABC=\beta=30^{\circ},~\angle BAC=90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}.