4382. В треугольнике ABC
сторона AB
равна 38, а медиана CM
наклонена к AB
под углом 40^{\circ}
и равна 19. В этот треугольник вписана окружность. Найдите периметр треугольника, вписанного в эту окружность и подобного треугольнику ABC
.
Ответ. 38\sin40^{\circ}
.
Решение. Данный треугольник — прямоугольный, так как его медиана, проведённая к стороне AB
, равна половине этой стороны (см. задачу 1188). Пусть \angle AMC=40^{\circ}
, P
— периметр данного треугольника, S
— площадь, r
— радиус вписанной окружности, P'
— искомый периметр. Тогда
S=2S_{\triangle AMC}=2\cdot\frac{1}{2}AM\cdot CM\sin40^{\circ}=19^{2}\sin40^{\circ}.
С другой стороны, S=\frac{1}{2}Pr
. Отсюда находим, что Pr=2S=2\cdot19^{2}\sin40^{\circ}
.
Коэффициент k
подобия треугольников равен отношению их гипотенуз, а гипотенуза равна диаметру описанной окружности, поэтому
P'=kP=\frac{2r}{AB}\cdot P=\frac{2}{AB}\cdot Pr=\frac{2}{38}\cdot2\cdot19^{2}\sin40^{\circ}=38\sin40^{\circ}.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет МГУ. — 2009 июль, № 3, задачи для второй смены